线性草图矩的紧下界

自流算法出现以来 [AMS99]，估计数据流频率矩的问题就引起了广泛关注。虽然近似计算 $p^{\rm th}$ 矩（其中 $p\in(0,2]$）的空间复杂度已得到解决 [KNW10]，但对于 $p>2$ 的情况，确切复杂度仍未解决。对于 $p>2$，当前最佳算法使用 $O(n^{1-2/p}\log n)$ 个字的空间 [AKO11,BO10]，而下界为 $\Omega(n^{1-2/p})$ [BJKS04]。在本文中，我们证明了对于基于线性草图的算法类，其紧下界为 $\Omega(n^{1-2/p}\log n)$ 个字，这类算法仅存储输入向量 $x$ 的草图 $Ax$ 和某个（可能是随机的）矩阵 $A$。我们注意到，针对该问题的所有已知算法均为线性草图。