刻画算子范数、Schatten 范数与子空间嵌入的紧界

我们考虑如下遗忘草图问题：给定 $\epsilon \in (0,1/3)$ 与 $n \geq d/\epsilon^2$，设计 $\mathbb{R}^{k \times nd}$ 上的分布 $\mathcal{D}$ 与函数 $f: \mathbb{R}^k \times \mathbb{R}^{nd} \rightarrow \mathbb{R}$，使得对任意 $n \times d$ 矩阵 $A$，$$\Pr_{S \sim \mathcal{D}} [(1-\epsilon) \|A\|_{op} \leq f(S(A),S) \leq (1+\epsilon)\|A\|_{op}] \geq 2/3,$$ 其中 $\|A\|_{op}$ 为 $A$ 的算子范数，$S(A)$ 表示 $S \cdot A$，将 $A$ 解释为 $\mathbb{R}^{nd}$ 中的向量。我们给出该问题 $k = \Omega(d^2/\epsilon^2)$ 的紧下界。我们的结果大幅加强了 Nelson 与 Nguyen（ICALP, 2014）的结果，因其（1）仅适用于估计算子范数，而该范数可由任意 OSE 估计；（2）适用于将 $A$ 视为向量并计算 $S(A)$ 的通用线性算子 $S$ 上的分布，而非对应于矩阵乘法的受限线性算子类。我们的技术也给出了通过通用线性草图近似偶数整数 $p$ 的 Schatten $p$-范数的首个紧界，将先前下界从 $k = \Omega(n^{2-6/p})$ [Regev, 2014] 改进至 $k = \Omega(n^{2-4/p})$。重要的是，对于以因子 $\alpha$ 草图算子范数且 $\alpha - 1 = \Omega(1)$ 的情形，我们得到紧的 $k = \Omega(n^2/\alpha^4)$ 界，与 Andoni 和 Nguyen（SODA, 2013）的上界匹配，并改进了先前 $k = \Omega(n^2/\alpha^6)$ 的下界。最后，我们还获得了近似 Ky Fan 范数的首批下界。