小维度下的ℓ_p-子空间草图问题及其在支持向量机中的应用

在$\ell_p$-子空间草图问题中，给定一个$n\times d$矩阵$A$（其中$n>d$），要求构建一个小规模内存数据结构$Q(A,\epsilon)$，使得对任意查询向量$x\in\mathbb{R}^d$，仅给定$Q(A,\epsilon)$即可输出一个位于$(1\pm\epsilon)\|Ax\|_p^p$范围内的数。已知对于$d=\Omega(\log(1/\epsilon))$，该问题需要$\tilde{\Omega}(d\epsilon^{-2})$位内存。然而，对于$d=o(\log(1/\epsilon))$，此前未知任何数据结构下界。我们确定了任意常数$d$与整数$p$下解决$\ell_p$-子空间草图问题所需的内存，表明其为$\Omega(\epsilon^{-2(d-1)/(d+2p)})$位与$\tilde{O} (\epsilon^{-2(d-1)/(d+2p)})$字。这表明对于任一常数$d$，均可击败在$d = \Omega(\log(1/\epsilon))$时成立的$\Omega(\epsilon^{-2})$下界。我们还展示了如何在单遍流中实现该上界，内存中附带一个乘性$\operatorname{poly}(\log \log n)$因子与加性$\operatorname{poly}(\log n)$代价。我们的界可应用于带加性误差的SVM点查询，对每个常数$d$给出$\tilde{\Theta}(\epsilon^{-2d/(d+3)})$的最优界。这相比（Andoni等人2020）的$\Omega(\epsilon^{-(d+1)/(d+3)})$下界近乎二次改进。我们的技术依赖于与几何泛函分析中低维技术的新颖联系。