turnstile 流算法更快的更新时间

在本文中，我们提出一种在turnstile流中维护线性草图且具有更快更新时间的新算法。作为一个应用，我们展示了在标准字 RAM（字长 $w=\Theta(\log n)$）上，使用 $O(\log n)$ 字空间，可在\emph{最坏情况} $O(\log^{0.582} n)$ 更新时间内隐式维护 $\log n$ 个具有常数列数（即桶数）的 \texttt{Count} 草图或 \texttt{CountMin} 草图。指数 $0.582\approx 2\omega/3-1$，其中 $\omega$ 为当前矩阵乘法指数。由于线性草图的大量应用，我们的算法在不占用更多空间的情况下，改进了turnstile流中许多流问题在高成功概率设定下的更新时间，包括 $\ell_2$ 范数估计、$\ell_2$ 重命中者、具有 $\ell_1$ 或 $\ell_2$ 误差的点查询等。我们的算法以相同更新时间和空间推广到维护 $\log n$ 个线性草图，其中每个草图使用常数 $c$ 的 $c$-wise 独立哈希函数将坐标划分为 $k<\log^{o(1)} n$ 个桶，并维护每个桶的坐标和。此外，若允许任意字操作，更新时间可进一步改进至 $O(\log^{0.187} n)$，其中 $0.187\approx \omega/2-1$。我们的更新算法是自适应的，它规避了 Larsen、Nelson 与 Nguy{\^{e}}n（STOC'15）针对turnstile流算法的非自适应单元探测下界。另一方面，我们的结果也表明，即便将空间限制为（近乎）最优，证明无条件的单元探测更新时间下界似乎非常困难。若 $\omega=2$，我们算法的单元探测更新时间将为 $\log^{o(1)} n$。因此，证明任何更高的下界都将意味着 $\omega>2$。