踏沉流式算法在多项式长度流中仍可能等价于线性 sketching

流式复杂度中的一个基本问题是：是否每个在空间上高效的踏沉流算法都隐式地是一个线性 sketching。Li、Nguyen 和 Woodruff [LNW14] 的标志性工作建立了二者之间的等价性，但他们的化简要求流长度至少为维数 $n$ 的双倍指数。在相反方向，Kallaugher 和 Price [KP20] 的结果表明，对于线性长度的流，存在分离，说明等价性在一般情况下不成立。最自然且与实际应用最相关的 regime——多项式长度流——因此保持开放状态。我们证明，多项式长度的踏沉流算法可以被线性 sketching 模拟。更精确地说，如果一个踏沉算法使用 $S$ 位空间，并且在所有长度为 $\mathrm{poly}(D, n)$ 的流上都成功，那么对于 $\|x\|_2 \le D$ 的最终向量 $x$，其输出可以从 $x$ 的 $O(S)$ 个线性测量中恢复，其中总共使用 $O(S \log S)$ 位。对于在适当输入分布下的光滑问题，化简的一个 mollified 版本可得到具有 $O(S / \log D)$ 个测量量和最优 $O(S)$ 总空间的有界条目 sketching。我们的结果扩展到严格踏沉流和非均匀只读一次分支程序 (ROBPs)。我们的证明离开了先前基于迁移图的机械，转而依赖于傅里叶分析框架和离散数学中的工具来提取离散线性测量。我们的分析表明，任何 $S$ 位算法仅对低维重力频率的轻微 Fourier 频率敏感，我们随后利用此来构建 sketching 矩阵的行。因此，我们通过现有的实 sketching 和通信下界，获得了针对多项式长度流的新下界。