关于稀疏恢复与范数估计的确定性草图与流算法
数据结构与算法
2012-12-12 v1 信息论
math.IT
摘要
我们利用确定性线性草图研究了经典的流处理和稀疏恢复问题，包括 l1/l1 和 linf/l1 稀疏恢复问题（后者也称为 l1-heavy hitters）、范数估计以及近似内积。我们专注于设计一个固定的矩阵 A \in R^{m x n} 和一个确定性的恢复/估计过程，使其能同时适用于所有可能的输入向量。我们的结果改进了现有工作，主要贡献如下：* 证明了 linf/l1 稀疏恢复与内积估计是等价的，且不相干矩阵可用于解决这两个问题。我们的测量次数上界为 m=O(eps^{-2}*min{log n, (log n / log(1/eps))^2})。通过利用 Fast Johnson-Lindenstrauss 变换，我们还可以获得快速的草图绘制和恢复算法。我们的运行时间和测量次数均优于以往工作。在输入向量尾部较小方面，我们也获得了比之前工作更好的误差保证。* 提出了求解 l1/l1 稀疏恢复所需线性测量次数的新下界。我们表明，要恢复满足 |x - x'|_1 <= (1+eps)|x_{tail(k)}|_1 的 x'，需要 Omega(k/eps^2 + klog(n/k)/eps) 次测量，其中 x_{tail(k)} 是 x 投影到除幅度最大的 k 个坐标之外的所有坐标上的结果。* 给出了求解确定性范数估计（即恢复 |x|_2 +/- eps|x|_1）所需测量次数的紧界 m = Theta(eps^{-2}log(eps^2 n))。对于我们研究的所有问题，以往工作已知其随机复杂度的紧界，l1/l1 稀疏恢复除外（已知其近乎紧的界）。因此，我们的工作旨在研究这些问题的确定性复杂度。
引用
@article{arxiv.1206.5725,
title = {On Deterministic Sketching and Streaming for Sparse Recovery and Norm Estimation},
author = {Jelani Nelson and Huy Nguyen and David P. Woodruff},
journal= {arXiv preprint arXiv:1206.5725},
year = {2012}
}