利用 L1-同伦法恢复流式信号的稀疏性

现有的大多数稀疏信号恢复方法均假设系统为静态的：未知信号是一个有限长度的向量，可获得一组固定的线性测量和一个稀疏表示基，并通过求解 L1-范数最小化程序进行重构。然而，相同的表示与重构框架并不直接适用于流式系统：未知信号随时间变化，且是在小的时间间隔内顺序测量和重构的。在本文中，我们讨论了两种此类流式系统以及一种用于快速求解相关 L1-范数最小化程序的同伦算法：1) 恢复平滑的时变信号，对此我们使用重叠正交变换而非块变换来进行稀疏表示。2) 恢复遵循线性动态模型的稀疏时变信号。对于这两种系统，我们在滑动区间上迭代处理测量值，并通过求解加权 L1-范数最小化程序来估计稀疏系数。我们并非在每次迭代时从头求解一个新的 L1 程序，而是利用现有的信号估计值作为同伦公式中的起点。从热启动向量开始，我们的同伦算法随着系统变化，仅需少量计算成本较低的步骤即可更新解。本文提出的同伦算法具有高度通用性，因为它可以在多种动态设置下更新 L1 问题的解。数值实验表明，我们提出的流式恢复框架在重构质量方面优于将信号表示和重构为独立、不相交块的方法，且我们提出的基于同伦的更新方案在计算时间和复杂度方面优于当前的最先进（state-of-the-art）求解器。