利用拾取 - 丢弃采样逼近大频率矩

给定大小为 $m$ 的数据流 $D = \{p_1,p_2,...,p_m\}$，其元素取自 $\{1,..., n\}$，定义 $i$ 的频率为 $f_i = |\{j: p_j = i\}|$。$D$ 的第 $k$ 个\emph{频率矩}定义为 $F_k = \sum_{i=1}^n f_i^k$。我们考虑在仅插入流中逼近 $k\ge 3$ 的频率矩问题。对于任意常数 $c$，我们证明了该问题空间复杂度的上界为 $O(n^{1-2/k}\log(n)\log^{(c)}(n))$。此处 $\log^{(c)}(n)$ 为迭代 $\log$ 函数。为简化表述，我们作如下假设：$n$ 和 $m$ 多项式级分离；近似误差 $\epsilon$ 和参数 $k$ 为常数。我们观察到流与特殊矩阵之间存在自然双射。我们的主要技术贡献是一种针对矩阵的非均匀采样方法。我们将此方法称为\emph{拾取 - 丢弃采样}；它以 $\Omega(1/n^{1-2/k})$ 的概率采样重元素（即频率为 $\Omega(F_k)$ 的元素 $i$），并给出近似值 $\tilde{f_i} \ge (1-\epsilon)f_i$。此外，估计值从不超出真实值，即对所有 $j$ 有 $\tilde{f_j} \le f_j$。因此，我们将寻找重元素的空间复杂度降低至 $O(n^{1-2/k}\log(n))$ 比特。我们应用递归草图方法，以 $O(n^{1-2/k}\log(n)\log^{(c)}(n))$ 比特解决了该问题。