不同元素问题的一种改进交互式流算法

精确计算不同元素的数量（频率矩 $F_0$）是数据流算法研究中的一个基本问题。我们将流的长度记为 $n$，其中每个符号取自大小为 $m$ 的全集。虽然众所周知 $F_0, F_1, F_2$ 矩可以通过高效的流算法进行近似，但很容易看出 $F_0, F_2$ 的精确计算需要 $\Omega(m)$ 的空间。在先前的工作中，Cormode 等人因此考虑了一个模型，其中数据流也由一个强大的助手处理，助手提供结果的交互式证明。他们为 NC 中的所有函数给出了此类协议，其中助手与验证者之间的通信轮数为多对数级。这一轮数（在 $F_0$ 的情况下为 $O(\log^2 m)$）可能很快使此类协议变得不切实际。Cormode 等人还给出了一种用于精确计算 $F_0$ 的 $\log m +1$ 轮协议，其空间复杂度为 $O\left(\log m \log n+\log^2 m\right)$，但总通信量为 $O\left(\sqrt{n}\log m\left(\log n+ \log m \right)\right)$。他们成功地为许多其他有趣的问题（包括 $F_2$、内积和范围求和）给出了具有 $\operatorname{polylog}(m,n)$ 复杂度的 $\log m$ 轮协议，但在多对数空间和通信量以及 $O(\log m)$ 轮数下精确计算 $F_0$ 的问题仍然悬而未决。在本工作中，我们给出了一种用于精确计算 $F_0$ 的 $\log m$ 轮流交互式协议，其使用 $O\left(\log m \left(\,\log n + \log m \log\log m\,\right)\right)$ 比特的空间，通信量为 $O\left( \log m \left(\,\log n +\log^3 m (\log\log m)^2 \,\right)\right)$。验证者每接收到一个符号的更新时间为 $O(\log^2 m)$。