全时段跟踪频率矩

随机化流算法的传统要求仅是“单次”（one-shot），即算法只需在流结束时正确（在所述的 $\eps$-误差界内）。在本文中，我们研究了“跟踪”（tracking）问题，即要求输出在所有时刻均正确。解决跟踪问题的标准方法是运行 $O(\log m)$ 个独立的单次算法实例，并对所有 $m$ 个时间实例应用联合界。在本文中，我们研究了对于经典的频率矩问题，是否可以改进这种标准方法。我们表明，对于任何 $1 < p \le 2$ 的 $F_p$ 问题，在现金寄存器模型（cash register model）中，实际上仅需 $O(\log \log m + \log n)$ 个副本即可实现跟踪保证，其中 $n$ 为全域大小。同时，我们给出了所有实现此保证的线性 sketch 的下界 $\Omega(\log m \log\log m)$ 比特。这表明当 $n=(\log m)^{O(1)}$ 时，我们的上界是紧的。我们还给出了转门模型（turnstile model）中的 $\Omega(\log^2 m)$ 下界，表明使用联合界的标淮方法本质上是 optimal 的。