数据流中带见证的频繁元素检测

检测频繁元素是数据流领域中最古老且被研究最多的问题之一。给定 $\{1, 2, \dots, n\}$ 中 $m$ 个数据项组成的流，目标是输出出现至少 $d$ 次的项（对于某个阈值参数 $d$），如今已有可证明最优的算法。然而，在许多应用中，仅知道频繁元素本身是不够的：例如，互联网路由器可能不仅需要知道被转发数据包中最频繁的目的 IP 地址，还需要知道这些数据包出现的时间戳或随数据包“到达”的任何其他元数据，例如其源 IP 地址。本文中，我们引入频繁元素问题的见证版本：给定期望近似保证 $\alpha \ge 1$ 与期望频率 $d \le \Delta$（其中 $\Delta$ 是最频繁项的频率），目标是报告一个项以及该流中该项出现时的至少 $d / \alpha$ 个时间戳（或随项到达的任何其他元数据）。我们针对仅插入流与插入-删除流两种设置均给出了可证明最优的算法：在仅插入流中，我们证明对每一个整数 $1 \le \alpha \le \log n$，空间 $\tilde{O}(n + d \cdot n^{\frac{1}{\alpha}})$ 是必要且充分的。在插入-删除流中，我们证明对每一个 $\alpha \le \sqrt{n}$，空间 $\tilde{O}(\frac{n \cdot d}{\alpha^2})$ 是必要且充分的。