我们是否仍缺失一个元素？

缺失元素问题由 Stoeckl 在 SODA 23 的工作中引入，其重点在于从集合 $\{1,2,...,n\}$ 的元素流 $\{e_1, ..., e_{\ell}\}$ 中持续识别一个缺失元素 $e$，使得对于任意 $i \in \{1,...,\ell\}$ 有 $e \neq e_i$。Stoeckl 的研究主要深入探讨了 $\ell<n$ 的场景，为 (i) 确定性情况、(ii) 静态情况——算法可能随机化但流是预先固定的、以及 (iii) 对抗鲁棒情况——算法随机化且每个流元素可根据先前的算法输出来选择，提供了界限。在此基础上，本文探讨了缺失元素问题此前未被研究的方面。在第一部分，我们考察了长流下的静态设定，其中流的长度 $\ell$ 接近甚至超过全集大小 $n$。我们提出了一种算法，证明即使 $\ell$ 非常接近 $n$（例如 $\ell=n-1$），仅需 polylog($n$) 比特的内存即可识别缺失元素。当流的长度 $\ell$ 超过全集大小 $n$，即 $\ell = n +k$ 时，我们给出了一个约为 $\Theta(k)$ 的紧确界。第二部分聚焦于对抗鲁棒设定。我们展示了一个伪确定性零误差（算法报告其错误）算法的下界，约为 $\Omega(\ell)$，忽略 polylog 因子。基于 Stoeckl 的工作及前述结果，我们为随机启动（仅在初始化时使用随机性）零误差流算法建立了一个约为 $\Theta(\sqrt{\ell})$ 的紧确界。