数据流中空间最优的轮廓估计及其在对称函数上的应用

我们重新审视在数据流模型中估计轮廓（亦称稀有度）的问题。给定来自大小为 $n$ 的论域的 $m$ 个元素序列，其轮廓是一个向量 $\phi$，其中第 $i$ 个分量 $\phi_i$ 表示在流中恰好出现 $i$ 次的不同元素的数量。Datar 与 Muthukrishan 在 2002 年的一篇经典论文给出了一种算法，使用 $O(1/\epsilon^2 (\log n + \log m))$ 比特的空间，将任意分量 $\phi_i$ 估计到 $\pm \epsilon D$ 的加性误差范围内，其中 $D$ 是流中不同元素的数量。在本文中，我们大幅改进了这一结果，设计了一种算法，可同时以较小的整体误差估计轮廓向量 $\phi$ 的多个坐标。我们给出的算法以常概率产生估计轮廓 $\hat\phi$，并在空间与估计误差方面具有以下保证：— 对于任意常数 $\tau$，使用 $O(1 / \epsilon^2 + \log n)$ 比特空间，$\sum_{i=1}^\tau |\phi_i - \hat\phi_i| \leq \epsilon D$。— 使用 $O(1/ \epsilon^2\log (1/\epsilon) + \log n + \log \log m)$ 比特空间，$\sum_{i=1}^m |\phi_i - \hat\phi_i| \leq \epsilon m$。除了对多个坐标的误差进行界定外，我们的空间界将依赖于 $1/\epsilon$ 的项与依赖于 $n$ 和 $m$ 的项分离开来。我们证明了两种情形下空间的下界匹配。我们的轮廓估计算法的应用可在 $O(1/\epsilon^2 + \log n)$ 比特内给出频率的若干对称函数误差在 $\pm \epsilon D$ 内的估计。这将不同元素问题的空间最优算法推广到其他问题，包括估计 Huber 与 Tukey 损失以及频率上限统计。