双曲 3-流形中的重正化面积与正合嵌入极小曲面

若 $Y$ 是凸余紧双曲 3-流形 $M$ 中的正合嵌入极小曲面，且其无穷远边界为嵌入曲线 $\gamma$，则 Graham 和 Witten 展示了如何通过 Hadamard 正规化来定义 $Y$ 的重正化面积 $\calA$。我们将重正化面积作为所有此类极小曲面空间上的泛函进行研究。这需要更仔细地考察这些模空间；沿用 White 和 Coskunuzer 的工作，我们证明它们是 Banach 流形，且将 $Y$ 映射到 $\gamma$ 的自然映射是零指标 Fredholm 映射且是正合的，这导出了该映射的 $\ZZ$-值度理论的存在性。我们证明 $\calA(Y)$ 可以表示为 $Y$ 的 Euler 示性数与 $Y$ 的无迹第二基本型范数平方的总积分之和。将重正化面积推广到更广泛的非极小曲面类，也有类似的公式，同样涉及平均曲率平方的积分。我们证明了重正化面积的第一变分公式，并刻画了当 $M = \HH^3$ 且 $\gamma$ 具有单一连通分支时的临界点。所有这些结果在 4 维 Poincaré-Einstein 度量情形下均有对应物。最后，我们讨论了 $\calA$ 与 Willmore 泛函的关系。