关于周期质量临界非线性 Schrödinger 方程的注记

我们考虑 $\mathbb{T}$ 和 $\mathbb{T}^2$ 上的质量临界 NLS。在 $\mathbb{R}^d$ 情形下，Strichartz 估计使我们能够通过 Picard 迭代方法证明 IVP 在 $L^2$ 中的适定性（至少对小初值）。然而，Bourgain（1993）和 Takaoka-Tzvetkov（2001）分别给出了 $\mathbb{T}$ 上 $L^6$ Strichartz 估计和 $\mathbb{T}^2$ 上 $L^4$ Strichartz 估计的反例，这意味着 Strichartz 空间不适合用于这些问题的迭代。在本注记中，我们展示了一个稍强的结果，即 $\mathbb{T}$ 和 $\mathbb{T}^2$ 上的 IVP 即使在小的初值下，也不能在 $L^2$ 中具有光滑的数据到解的映射。对于大多数二维无理环面，也得到了相同的结果。