图上无嫉妒性的松弛

当在智能体间分配一组不可分物品时，无嫉妒性的理想条件并非总能达到。至多任一件物品无嫉妒（EFX）与含 $k$ 个隐藏物品的无嫉妒（HEF-$k$）是无嫉妒性两种极具吸引力的松弛，且在许多设定中仍难以实现。我们研究这两种公平性约束的一种自然松弛：将智能体置于无向图的顶点上，仅要求我们的分配在图的边上满足 EFX（相应地为 HEF）约束。我们将此类分配称为图-EFX（相应地为图-HEF）或简记为 $G$-EFX（相应地为 $G$-HEF）分配。我们证明对任意图 $G$，总存在物品的 $G$-HEF-$k$ 分配，其中 $k$ 为 $G$ 的最小顶点覆盖的大小，且这本质上是紧的。我们证明物品的 $G$-EFX 分配在三类不同图族上存在——其中两类推广了星图 $K_{1, n-1}$，第三类推广了三边路径 $P_4$。许多结果亦推广至杂务的分配。总体而言，我们展示了若干自然设定，其中图结构有助于获得强公平性保证。最后，我们利用来自 Spliddit 的问题实例评估了一种算法，表明 $G$-EFX 分配似乎存在于路径 $P_n$ 上，为在更宽泛图族上证明 EFX 指明了方向。