不可分物品多重集的公平分配

我们研究在具有可加估值的 $n$ 个智能体之间公平分配包含 $m$ 件不可分物品的多重集 $M$ 的问题。具体而言，我们引入一个参数 $t$ 表示物品的不同类型数量，并研究仅包含这 $t$ 种类型物品的多重集在两种标准公平性概念下的公平分配：1. 无嫉妒性 (EF)：对于任意的 $n$、$t$，我们证明当至少一个智能体具有唯一估值且每种类型物品的数量超过某个特定有限阈值时，存在完全的 EF 分配。我们在某些特殊情况下给出了该阈值的显式上界和下界。2. 任意物品无嫉妒性 (EFX)：对于任意的 $n$、$m$，以及 $t\le 2$，我们证明总是存在完全的 EFX 分配。我们给出了该结果的两种不同证明。一种证明是构造性的，可在多项式时间内运行；另一种证明受几何学启发。