光滑方案的相对 $\mathbb{A}^1$-收敛性

我们研究光滑态射 $f \colon X \to S$ 在不稳定 $\mathbb{A}^1$-单值范畴 $\mathcal{H}(S)$ 中是 $\mathbb{A}^1$-收敛的。对于克里克维数的有限基方案 $S$，我们证明 $\mathbb{A}^1$-收敛性是纤分性质：此类态射是 $\mathbb{A}^1$-收敛的当且仅当其所有几何纤维均为 $\mathbb{A}^1$-收敛。我们将此判据应用于 $\mathbb{A}^n$-纤维空间，得到其 $\mathbb{A}^1$-收敛性的几何描述，涉及局部分解为向量丛塔的因子化，基于阿萨纳姆的研究结果。在低相对维数中，我们建立刚性结果。在相对维数为 $1$ 时，$\mathbb{A}^1$-收敛的态射在正规基上的正 Zariski 局部平凡的 $\mathbb{A}^1$-丛。而在相对维数为 $2$ 时，我们证明在特征为零的基上的 $\mathbb{A}^1$-收敛态射为 $\mathbb{A}^2$-纤维空间，并且在基的额外假设下获得 Zariski 局部平凡性。我们还在正特征和混合特征中展示反例，并提出关于是否存在奇异 $\mathbb{A}^1$-收敛曲面的开放问题。