光滑概形的相对$\mathbb{A}^1$-可缩性与奇异动机球面

代数几何中的一个新兴问题是刻画光滑仿射概形中在$\mathbb{A}^1$-可缩性意义下与仿射$n$-空间$\mathbb{A}^n$同构的概形。近期研究表明，在某些域上，该刻画在维度$n<3$时成立。在本论文中，我们利用Zariski局部平凡性和相对微分层的平凡性，将此观察扩展到相对维度$d<3$的“合理”任意基概形。从维度$n\geq 3$开始，光滑“奇异”仿射概形——即$\mathbb{A}^1$-可缩但不与仿射$n$-空间同构的概形——的存在性已被确立。一个被广泛研究的族构成Koras-Russell三维簇$\mathcal{K}$及其高维原型$\mathcal{X}_n$，其$\mathbb{A}^1$-可缩性迄今已在特征零域上得到证明。在此，我们将$\mathcal{K}$和$\mathcal{X}_n$的相对$\mathbb{A}^1$-可缩性扩展到任意维度的Noetherian基概形上。然后，利用这些原型，我们在动机同伦理论中研究“奇异球面”——即$\mathbb{A}^1$-同伦等价但不与$\mathbb{A}^n \backslash \{0\}$同构的$n$维光滑概形——的存在性。该结果可被视为奇异仿射概形研究的“紧致”类比。我们的主要结果表明，在所有维度$n\geq 4$中，拟仿射簇$\mathcal{X}_n \backslash \{\bullet\}$在无限完美域上给出了奇异动机球面的模型。新颖之处在于，这些构成了第一族与$\mathbb{A}^n \backslash \{0\}$不同构的$n$维光滑动机球面的例子。