Weyl群中的正则共轭类与可积层次

研究了由Drinfeld-Sokolov约化到环代数$\G\otimes{\bf C}[\lambda,\lambda^{-1}]$的非等价Heisenberg子代数中的一级正则半单元素所关联的广义KdV层次。包含此类元素的阶化Heisenberg子代数由简单李代数$\G$的Weyl群${\bf W}(\G)$中的正则共轭类标记。正则共轭类的代表元$w\in {\bf W}(\G)$可提升为$\G$的内自同构，由$\hat w=\exp\left(2i\pi {\rm ad I_0}/m\right)$给出，其中$I_0$是$\G$的$sl_2$子代数的定义向量。阶化由算子$d_{m,I_0}=m\lambda {d\over d\lambda} + {\rm ad} I_0$定义，与$[w]$关联的Heisenberg子代数中的任何一级正则元素$\Lambda$具有形式$\Lambda = (C_+ +\lambda C_-)$，其中$[I_0, C_-]=-(m-1) C_-$，且$C_+$包含在含有$I_0$的$sl_2$子代数中。${\rm ad}I_0$的最大特征值为$(m-1)$，但$F_4$、$E_{6,7,8}$中的某些情况除外。我们解释了这些李代数结果如何从已知结果得出，并将其应用于构造可积系统。如果${\rm ad} I_0$的最大特征值为$(m-1)$，则利用与$[w]$关联的Heisenberg子代数中的任何一级正则元素，我们可以构造一个KdV系统，该系统以由$I_0$定义的标准$\W$-代数作为其第二泊松括号代数。对于$\G$为经典李代数的情况，我们推导了那些可作为与$gl_n$相关的KdV系统的离散约化而获得的非主KdV系统的伪微分Lax算子。还考虑了非阿贝尔Toda系统。