仿射型的反射矩阵、余理想子代数与广义Satake图

我们提出了由Kolb和Letzter发展的量子对称对理论的推广。我们引入一类广义Satake图，其产生对称化Kac-Moody代数$\mathfrak{g}$的第二类（不一定对合）自同构。这些自同构引致量子包络代数$U_q(\mathfrak{g})$的右余理想子代数$B_{\mathbf{c},\mathbf{s}}$。在$\mathfrak{g}$为经典类型的扭曲或非扭曲仿射李代数的情形下，Jimbo找到了$U_q(\mathfrak{g})$向量表示的纠缠子（等变映射），给出了参数依赖量子Yang-Baxter方程的三角解。本文中，当$\mathfrak{g}$为${\rm A}^{(1)}_n$、${\rm B}^{(1)}_n$、${\rm C}^{(1)}_n$和${\rm D}^{(1)}_n$型时，我们计算限制在子代数$B_{\mathbf{c},\mathbf{s}}$上的向量表示的纠缠子。这些纠缠子是参数依赖量子反射方程的矩阵解，称为三角反射矩阵。它们经对角矩阵共轭后对称，且在许多情形下满足某种稀疏条件：每行和每列至多有两个非零元素。推测地，这分类了承载该表示的向量空间中的所有此类解。一组$U_q(\mathfrak{g})$的Hopf代数自同构作用于这些反射矩阵，使我们能证明每个所得反射矩阵等价于一个具有至多两个附加自由参数的矩阵。还获得了反射矩阵的诸如特征分解与仿射化关系等附加特征。特征分解暗示，对于所有这些矩阵，应存在用Hecke型代数表示的自然解释。