弱色散 NLS 的精细化概率整体适定性

我们继续研究具有极弱色散 $\alpha>1$、且数据依 Gibbs 测度分布的立方分数阶 NLS。我们为 $\alpha>\alpha_0=\frac{31-\sqrt{233}}{14}\approx 1.124$ 构造了自然强解，该阈值严格小于 $\frac{8}{7}$——超过此阈值，第一个非平凡 Picard 迭代不再具备确定性适定性理论所需的 Sobolev 正则性。这也改进了我们先前在 Sun-Tzvetkov \cite{Sun-Tz2} 中的结果。我们依赖于 Bringmann \cite{Bringmann} 以及 Deng-Nahmod-Yue \cite{Deng2} 的近期思想。特别地，我们将 \cite{Deng2} 中捕捉 $X^{s,b}$ 型空间中最奇异频率相互作用部分的新分解拟设适配到我们的情形。为克服弱色散效应带来的困难，我们的具体策略是利用这些奇异部分的“几乎”输运效应，并发挥其 $L^{\infty}$ 以及 Fourier-Lebesgue 性质，从而从高频率部分的线性演化中继承随机特征。