具有非零边界条件的NLS方程族的全局适定性
偏微分方程分析
2025-08-21 v1
摘要
我们考虑具有非零边界条件q(t, x) → q_± ∈ S^1（当x → ±∞时）的NLS方程族，并证明其对于高正则性初始数据是全局适定的。具体来说，我们证明了对于来自连接q_-到q_+的与时间无关的前沿q_*的扰动p = q - q_*，该问题是适定的。NLS方程族中的方程是利用从与Lax算子相关的Jost解的对数导数的展开中导出的递推关系来定义的。利用这个递推关系，我们能够确定NLS方程族中所有项的显式公式，这些项至多包含一个因子为q_x、\bar{q}_x或其导数。然后，我们将p的方程视为一大类色散非线性系统的一部分，并为此在加权Sobolev空间中建立了局部适定性理论。这涉及某些局部光滑化和极大函数估计，我们针对具有有限多个临界点的一大类色散关系建立了这些估计。最后，我们利用[1, 2]中构造的守恒能量将解全局化。[1] H. Koch and X. Liao. "Conserved energies for the one dimensional Gross-Pitaevskii equation". In: Adv. Math. 377, 107467 (2021). [2] H. Koch and X. Liao. "Conserved energies for the one dimensional Gross-Pitaevskii equation: low regularity case". In: Adv. Math. 420, 108996 (2023).
引用
@article{arxiv.2508.14572,
title = {Global well-posedness of the NLS hierarchy with nonzero boundary condition},
author = {Xian Liao and Robert Wegner},
journal= {arXiv preprint arXiv:2508.14572},
year = {2025}
}