循环瓮模型组合的精细渐近性

循环瓮是一个针对类型为 $0,\ldots,m-1$ 的球的瓮模型。该瓮在时刻零以初始配置开始。然后，在每个时间步，首先从瓮中均匀且独立于过去地抽取一个球。如果其类型为 $j$，则将其连同一个新的类型为 $j+1 \mod m$ 的球一起放回瓮中。$m=2$ 的情况是著名的Friedman瓮。已知对于 $2\le m\le 6$，经过归一化后的组合向量，即 $n$ 步后每种类型球的数量向量，渐近服从正态分布。对于 $m\ge 7$，已知归一化后的组合向量不收敛。然而，存在一个由周期随机向量给出的几乎必然逼近。本文识别了围绕该周期随机向量的渐近波动。我们证明了对于所有 $7\le m\le 12$，这些波动是渐近正态的。对于 $m\ge 13$，当以更精细的方式进行归一化时，我们也发现了渐近正态波动。仅当 $6$ 不整除 $m$ 时，这些波动才具有最大维度 $m-1$。当 $m$ 为 $6$ 的倍数时，波动由一个二维子空间支撑。