自适应随机增强 urn 的动力学

自适应随机增强 urn（ARRU）是一种两色 urn 模型，其更新过程由非负随机向量序列 $\{(D_{1,n}, D_{2,n});n\geq1\}$ 和利用累积统计信息进行更新的随机演化阈值定义。令 $m_1=E[D_{1,n}]$ 且 $m_2=E[D_{2,n}]$。受应用驱动，本文对 ARRU 模型的动力学进行了详细研究。首先，对于 $m_1 \neq m_2$ 的情形，在关于随机阈值序列的极弱假设下，我们建立了固定与递增时刻 urn 比例增量的 $L_1$ 界。作为推论，我们推导出演化 urn 比例的弱一致性。其次，在稍强的条件下，我们建立了对所有有限 $m_1$ 和 $m_2$ 值的 urn 比例的强一致性。具体地，我们证明当 $m_1=m_2$ 时比例收敛于一个非退化随机变量。第三，我们建立了在 $m_1=m_2$ 情形下抽样球比例的渐近分布（经适当中心化与缩放后）。在此过程中，我们解决了随机增强 urn（RRU）抽样球数量的渐近分布问题。为解决技术问题，我们在极弱条件下建立了关于不同时刻 urn 中球总数的调和矩的结果，这具有独立意义。