基于关系与Dowker复形的单纯复形约化

我们展示了一种新的单纯复形约化方法。该方法与关系和Dowker复形配合良好。其思想是向单纯复形$K$中添加一个虚拟顶点$z$。我们将单纯锥$z * L$添加到$K$中，其中$L$是一组顶点的星形邻域的并集。若$L$可缩，则可应用粘合定理将$z * L$粘合到$K$上得到$K'$。最后，我们对$K'$中$L$的每个顶点进行强坍缩以获得$K''$。若条件满足，则$K$、$K'$和$K''$是同伦等价的。这一技巧可适用于关系及其关联的Dowker复形$K_R$。该记号有助于简化各种计算。关系是简单的数据结构，可用二元矩阵表示。这种基于关系的约化方法具有通用性，可用于不同的结构，如单纯复形、凸多面体复形以及满足神经定理的拓扑空间覆盖。我们基于该约化步骤开发了一种算法。设$n$为$K$的顶点数。我们有$O(n^2)$个子复形$L$需要验证其可缩性。对$L$的验证代价较高，为$O(d \epsilon (n^2 + m^2))$，其中$d$是$L$的维数，$m$是$L$中顶面数，$n$是$L$中顶点数，$\epsilon$是$L$中与一个顶点相邻的最大顶面数。但$L$通常是一个小的单纯复形。若$L$可缩，则我们对某些列应用一个清理方法，耗时$O(d m^2)$。最后，我们通过若干实验结果展示了该约化算法的效率。