一类马尔可夫链的常返性与暂留性

我们考虑实轴上时间齐次马尔可夫链的常返与暂留问题，其转移核为 $p(x,\mathrm{d}y)=f_x(y-x)\,\mathrm{d}y$，其中密度函数 $f_x(y)$ 在 $|y|$ 较大时具有指数为 $\alpha(x)+1$ 的幂律衰减，且 $\alpha(x)\in(0,2)$。在本文中，在密度函数 $f_x(y)$ 的一致性以及额外的温和漂移条件下，我们证明了当 $\lim\inf_{|x|\longrightarrow\infty}\alpha(x)>1$ 时，该链是常返的。类似地，在密度函数 $f_x(y)$ 的相同一致性条件及一些温和的技术条件下，我们证明了当 $\lim\sup_{|x|\longrightarrow\infty}\alpha(x)<1$ 时，该链是暂留的。作为这些结果的一个特例，我们给出了稳定性指数 $\alpha\in(0,1)\cup(1,2)$ 的 $\mathbb {R}$ 上对称 $\alpha$-稳定随机游动的常返与暂留性质的新证明。