变广延自由边界的可求长性

我们建立了 $k$-变广延 $V$ 的自由边界的部分可求长性结果。具体而言，我们首先改进了 Grüter 和 Jost 的定理，证明具有自由边界的一般变广延的一阶变分是 Radon 测度。接下来我们证明，若 $V$ 的平均曲率 $H$ 属于某个 $p \in [1,k]$ 的 $L^p$，则 $V$ 的 $k$-密度不存在或无穷大的点集的 Hausdorff 维数至多为 $k-p$。我们利用该结果证明，在适当假设下，$V$ 的一阶变分中具有正且有限 $(k-1)$-密度的部分是非 $(k-1)$-可求长的。