可恢复状态于von-Neumann代数

设 $(\mathcal{M},\tau)$ 和 $(\mathcal{N},\tau^{\prime})$ 为带有迹的von-Neumann代数，设 $\phi:\mathcal{M}\to\mathcal{N}$ 为一个严格完全积极、迹保持的映射。给定 $\mathcal{M}$ 中一个正可逆矩阵 $B\in\mathcal{M}$ 且 $\tau(B)=1$，若 $\mathcal{M}$ 中一个状态由正矩阵 $A\in L^1(\mathcal{M}, \tau)$ 表示，且满足 $\mathcal{R}(\phi(A))=A$（其中 $\mathcal{R}$ 为对应 $B$ 和 $\phi$ 的 Petz 恢复映射），则称该状态为可恢复状态。本文研究可恢复状态，表明任意状态可通过 $\mathcal{R}\circ\phi$ 的迭代变得接近可恢复状态。我们证明存在一个 $\mathcal{M}\to\mathcal{M}$ 的完全积极、迹保持映射 $\psi$，使得 $\psi(A)$ 对所有 $A$ 均为可恢复状态，且 $(\mathcal{R}\circ\phi)^n\to\psi$ 在算子范数意义下收敛，对所有 $1\,\textless p\,\textless\infty$ 成立，同时讨论其在量子信息论中的潜在应用。我们还证明该收敛在 $L^1$ 中也具有强收敛性。最后，我们为 $\mathcal{M}$ 上的正态状态证明了一个有趣的分解定理。