从部分信息重建联络或度量

在给定特殊半测地坐标的正定黎曼空间的一个邻域内，度量张量可以根据其在某个合适超曲面上的值以及坐标域中某些(1,3)型曲率张量的分量来计算。半测地坐标是著名的费米坐标的推广，后者在力学和物理学中扮演重要角色，广泛应用于闵可夫斯基空间以及一般的黎曼空间微分几何中。在本文中，我们考虑一种更一般的情况。我们引入了特殊的预半测地图，这些图既从几何角度也从联络角度进行了刻画，并阐述了一个类似于皮亚诺-皮卡-柯西定理的关于一阶常微分方程组初值问题解的存在唯一性定理。然后，我们在一个配备了线性对称联络的流形的固定预半测地图中使用这一工具。我们的目标是，根据已知的“初始条件”——联络在某个固定的$(n-1)$维曲面$S$上的限制以及“体积”（坐标域）中曲率张量$R$的某些分量——在某个邻域内重建或构造对称线性联络。通过类似的方法，我们根据已知的度量在某个非各向同性超曲面上的限制以及体积中曲率张量的某些分量，在半测地坐标域中恢复（或构造）一个伪黎曼流形的(0,4)型度量张量。与其他作者相比，我们基于一阶常微分方程的经典结果，给出了更短的具有构造性的证明。