从投影重建离散测度及其对经验Sliced Wasserstein距离的影响

本文研究从离散测度 $\gamma_Z$ 在 $\mathbb{R}^d$ 上经线性映射 $P_i: \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^{d_i}$（例如到子空间上的投影）的推前测度 $P_i\#\gamma_Z$ 的知识来重建该离散测度的问题。在 $\gamma_Z$ 固定的情况下，假设矩阵 $P_i$ 的行是不给超平面赋质量的律的独立实现，我们证明若 $\sum_i d_i > d$，则该重建问题几乎必然有唯一解。这对 $\gamma_Z$ 中任意数量的点均成立。该结果的一个直接推论是经验Sliced Wasserstein距离上的几乎必然可分离性。