自适应平滑经验测度的收敛性

自适应 Wasserstein 距离控制着各种随机优化问题、定价与对冲问题、最优停止问题等中最优值的校准误差。然而，自适应 Wasserstein 距离的统计方面因经验测度在该距离下无法收敛而遭遇瓶颈。核平滑和自适应投影已被引入以构建经验测度的收敛替代，分别称为平滑经验测度和自适应经验测度。然而，这两种方法都有局限性。具体而言，平滑经验测度缺乏全面的收敛结果，而自适应经验测度在实际应用中产生的不同样本数量少于标准经验测度。在本工作中，我们解决了上述两个问题。首先，我们建立了平滑经验测度的全面收敛结果。然后，我们为自适应经验测度引入了一个平滑版本，该版本能提供任意所需数量的不同样本。我们将其称为自适应平滑经验测度，并建立了其均值收敛、偏差收敛和几乎必然收敛。收敛估计包含两个结果：平滑自适应 Wasserstein 距离的经验分析及其带宽效应。这两个结果都是新颖的，其证明技术可能具有独立的研究意义。