整数集合的同时密度约束的可实现性

本文研究集合 $\mathcal{D}$ 的值，即四元组 $(\underline{\mathrm{d}}(A),\overline{\mathrm{d}}(A),\underline{\mathrm{d}}(2A),\overline{\mathrm{d}}(2A))$ 其中 $A\subset\mathbb{N}$，且 $\underline{\mathrm{d}},\overline{\mathrm{d}}$ 分别表示下和上渐近密度。我们完善了该主题的现有结果，确定其六个坐标平面投影，即四元组六个子对的可能取值集合。进一步，我们表明该集合 $\mathcal{D}$具有非空内部，特别是具有正测度。为此，我们等地使用了概率方法和数论方法。其中一些与这些方法相关的辅助结果可能对一般兴趣有益。