实 Spin 配边与拓扑 $\mathrm{K}$-理论的定向

我们构造了一个交换正交 $C_2$-环谱 $\mathrm{MSpin}^c_{\mathbb{R}}$，以及 Atiyah 实 K-理论的一个 $C_2$-$E_{\infty}$-定向 $\mathrm{MSpin}^c_{\mathbb{R}} \to \mathrm{KU}_{\mathbb{R}}$。此外，我们定义了 $E_{\infty}$-映射 $\mathrm{MSpin} \to (\mathrm{MSpin}^c_{\mathbb{R}})^{C_2}$ 和 $\mathrm{MU}_{\mathbb{R}} \to \mathrm{MSpin}^c_{\mathbb{R}}$，用于从映射 $\mathrm{MSpin}^c_{\mathbb{R}} \to \mathrm{KU}_{\mathbb{R}}$ 恢复拓扑 $\mathrm{K}$-理论的三个著名定向：$\mathrm{MSpin}^c \to \mathrm{KU}$、$\mathrm{MSpin} \to \mathrm{KO}$ 和 $\mathrm{MU}_{\mathbb{R}} \to \mathrm{KU}_{\mathbb{R}}$。我们还表明，利用 $\underline{\pi}_*\mathrm{MSpin}^c_{\mathbb{R}}$ 的 Mackey 函子结构，spin 流形上 $\hat{A}$-亏格的整性构成了不动点 $(\mathrm{MSpin}^c_{\mathbb{R}})^{C_2}$ 等价于 $\mathrm{MSpin}$ 的障碍。特别地，通常的映射 $\mathrm{MSpin} \to \mathrm{MSpin}^c$ 并不作为任何 $C_2$-$E_{\infty}$-环谱的不动点包含而出现。