有理正规形与非线性薛定谔方程小解的稳定性

我们考虑圆周上具非平凡三次项且无外部参数的非线性薛定谔方程的一般类别。我们在高 Sobolev 正则性下、围绕原点的开集上构造一类新型正规形，即有理正规形。借助这一新工具，我们证明：给定大常数 $M$ 与充分小参数 $\varepsilon$，对于大小为 $\varepsilon$ 的泛型初值，其流在高达任意小余项 $\varepsilon^{M+1}$ 阶的意义下共轭于可积流。这意味着对此类初值 $u(0)$，我们可在 $\varepsilon^{-M}$ 阶时间内控制解 $u(t)$ 的 Sobolev 范数。此外该性质是局部稳定的：若 $v(0)$ 充分接近 $u(0)$（相差 $\varepsilon^{3/2}$ 阶），则解 $v(t)$ 同样可在 $\varepsilon^{-M}$ 阶时间内受控。