经典 Katznelson-Tzafriri 定理中的衰减速率

给定一个幂有界算子 $T$，Katznelson 和 Tzafriri 定理指出，当且仅当 $T$ 的谱 $\sigma(T)$ 与单位圆 $\mathbb{T}$ 的交集至多为点 1 时，$\|T^n(I-T)\|\to0$（当 $n\to\infty$）。本文研究了当 $\sigma(T)\cap\mathbb{T}=\{1\}$ 时衰减发生的速率。所得结果特别导出了关于该衰减速率的上下界，这些界用预解算子 $R(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta},T)$ 当 $\theta\to0$ 时的增长来表示。在预解多项式增长的特殊情况下，这些界被证明对于一般 Banach 空间是最优的，但在 Hilbert 空间情形下则不然。