强连通条件不成立时广义 Bradley-Terry 模型中的排序问题

针对非平衡成对比较问题，已有多种排序方法被提出。其中最流行的方法之一是 Bradley-Terry 模型，该模型通过优势参数的最大似然估计 (MLEs) 来确定一组对象的排序。然而，对于允许出现平局或主场优势（或两者兼有）的 Bradley-Terry 模型及其广义模型，其 MLE 的存在性关键取决于由胜负矩阵构建的有向图是否满足强连通条件。当该条件不满足时，MLE 不存在，因此无法得到排序解。本文提出了一种改进版的 $\varepsilon$ 奇异摄动方法（由 Conner 和 Grant (2000) 提出），以解决这一问题，并将其推广至广义 Bradley-Terry 模型。我们推导了这些广义 Bradley-Terry-$\varepsilon$ 模型中惩罚 MLE 存在性和唯一性的若干充要条件。数值研究表明，该排序方法对不同的 $\varepsilon$ 具有鲁棒性。我们将所提出的方法应用于 2008 年 NFL 常规赛的数据。