一般比较图下 BTL 模型中 MLE 的 $\ell_{\infty}$ 界

Bradley-Terry-Luce (BTL) 模型是一种流行的统计方法，利用成对比较估计一组物品的全局排序。为确保排序准确，必须在 $\ell_{\infty}$-损失下获得模型参数的精确估计。该任务的难度关键取决于给定物品上成对比较图的拓扑结构。然而，除极少数被充分研究的情形（如完全图和 Erd"os-R\'enyi 比较图）外，对于更一般的图拓扑，BTL 模型参数的最大似然估计（MLE）在 $\ell_{\infty}$-损失下的性能知之甚少。在本文中，我们推导了 BTL MLE 的 $\ell_{\infty}$ 估计误差的新的、一般的上界，其显式依赖于比较图的代数连通度、物品间的最大性能差距以及样本复杂度。我们证明所推导的界表现良好，且在某些情况下比使用不同损失函数及更受限假设和图拓扑得到的已知结果更紧。我们仔细将我们的结果与 Yan 等人（2012）比较，其与本研究精神最为接近。我们进一步给出了 $\ell_{\infty}$-误差下的最小最大下界，在一类充分正则的图拓扑上几乎匹配上界。最后，我们研究了 $\ell_{\infty}$-界对于高效（离线）锦标赛设计的意义。我们通过各种例子和模拟阐明并讨论了我们的发现。