秩-2 吸引子与 Fermat 型 CY $n$ 重族

Fermat 型 Calabi-Yau $n$ 重族记为 $\mathscr{F}_n$，是 $\mathbb{P}^{n+1}$ 中由 $\sum_{i=0}^{n+1}x_i^{n+2}=0$ 定义的超曲面，即 Fermat 铅笔 $$\sum_{i=0}^{n+1} x^{n+2}_i -(n+2)\, \psi\, \prod_{i=0}^{n+1} x_i =0.$$ 在 Fermat 点 $\psi=0$ 处的光滑纤维。$\mathscr{F}_n$ 上无处消失的全纯 $n$-形式定义了 $(H^n(\mathscr{F}_n,\mathbb{Q}),F_p)$ 的一个 $n+1$ 维子 Hodge 结构。本文中，我们将提出一个猜想，称此 $n+1$ 维子 Hodge 结构完全分裂为维数 $\leq 2$ 的纯 Hodge 结构的直和，其中包含一个直和项 $\mathbf{H}^n_{a,1}$，其 Hodge 分解为 $$\mathbf{H}^n_{a,1}=H^{n,0}(\mathscr{F}_n) \oplus H^{0,n}(\mathscr{F}_n).$$ 利用数值方法，我们能够对 $n=3,4,6$ 的情形显式构造出此类分裂，同时对 $n=8,10$ 的情形构造了部分分裂。对 $n=3,4,6,8,10$，我们数值发现 Fermat 铅笔在 Fermat 点 $\psi=0$ 处的镜像映射 $t$ 的值为如下形式 $$t|_{\psi=0}=\frac{1}{2}+\xi \,i,$$ 其中 $\xi$ 为一个实代数数，直观地依赖于整数 $n+2$。此外，我们还数值发现对 $n=3,4,6,8,10$ 的情形，$\mathbf{H}^n_{a,1}$ 的 Deligne 周期之商 $c^+(\mathbf{H}^n_{a,1})/c^-(\mathbf{H}^n_{a,1})$ 为一个代数数，事实上我们将提出一个推广此观察的更强猜想。我们还将证明 $\mathbf{H}^4_{a,1}$ 满足 Deligne 猜想的预言。