Calabi-Yau 四重折叠紧化的若干方面

Calabi-Yau 四重折叠的几何研究对于将弦理论、M理论和F理论紧化到不同维度具有重要意义。在本论文的第一部分，我们研究镜像对称对通过IIA型弦理论在 Calabi-Yau 四重折叠上紧化所得到的二维 $\cN=(2,2)$ 有效理论的作用。我们的焦点在于具有非平凡三形式上同调的四重折叠几何。将三形式规范势展开到这些形式中所产生的无质量零模的耦合，既依赖于 Calabi-Yau 四重折叠的复结构形变，也依赖于其 K"ahler 结构形变。我们论证了两种称为三形式周期的全纯函数（每种形变各一个）包含了这一信息。它们在镜像对称下相互交换，这使得我们能在大型复结构点和大体积点推导出它们。我们讨论了所得显式表达式在F理论紧化及其弱弦耦合极限中的应用。本工作的第二部分引入了数学工具，以推导作为环面背景空间超曲面的四重折叠上非平凡三形式周期的完整模依赖关系。这为确定这些形式的 Picard-Fuchs 型微分方程和积分表达式奠定了基础。关键工具在于如下观察：环面背景空间中的四重折叠超曲面上的非平凡三形式总源于由以黎曼曲面为纤维的环面曲面之树构成的除子。三形式周期随后与这些黎曼曲面的单形式周期非平凡地相关。我们以两个用于F理论紧化的显式四重折叠例子作结，其中三形式周期决定了轴子衰变常数。