$\mathbb{P}^2$ 上的非投射 Calabi-Yau 超流形

我们开始对非投射超流形的系统研究，重点关注费米维数为 2 且约化流形为复射影空间的超流形。我们证明所有 $\mathbb{P}^2$ 上维数为 $2|2$ 的非投射超流形均可由一个非零 1-形式 $\omega$ 和一个秩为 $0|2$ 的局部自由层 $\mathcal{F}$ 完全刻画，且满足 $Sym^2 \mathcal{F} \cong K_{\mathbb{P}^2}$。将此类超流形记为 $\mathbb{P}^{2}_\omega(\mathcal{F})$，我们证明它们均为 Calabi-Yau 超流形，且当 $\omega \neq 0$ 时，它们是非射影的，即不能嵌入到任何射影超空间 $\mathbb{P}^{n|m}$ 中。相反，我们证明 $\mathbb{P}^2$ 上的每个非投射超流形都可嵌入到超 Grassmannian 中。作为对比，我们给出了一个超流形 $\mathbb P^{2}_\omega(\mathcal F)$ 的例子，它不能嵌入到 Manin 和 Deligne 引入的任何 $\Pi$-射影超空间 $\mathbb P^{n}_{\Pi}$ 中。然而，我们也证明当 $\mathcal F$ 是 $\mathbb{P}^2$ 上的余切丛时，非投射的 $\mathbb{P}^2_\omega(\mathcal F)$ 与 $\Pi$-射影平面 $\mathbb P^{2}_{\Pi}$ 确实重合。