一维超Calabi-Yau流形及其镜像

我们将广义超Calabi-Yau簇（SCY）的定义应用于复维数为一的超流形。我们的结果之一是存在两个约化流形等于 $\mathbb{P}^1$ 的SCY，即射影超空间 $\mathbb{P}^{1|2}$ 和加权射影超空间 $\mathbb{WP}^{1|1}_{(2)}$。然后我们计算了相应的超形式层上同调，表明picture number为一的上同调是无限维的，而从物理角度来看重要的de Rham上同调保持有限维。此外，我们给出了通用射影超空间 $\mathbb P^{n|m}$ 的完整实与全纯de Rham上同调。我们还确定了自同构群：它们总是与射影超群的维数相匹配，唯一的例外是 $\mathbb{P}^{1|2}$，其自同构群结果比射影一般线性超群更大。通过考虑超切层的上同调，我们计算了 $\mathbb{P}^{1|m}$ 的形变，发现即使约化流形是刚性的，费米子结构的存在也允许发生形变。最后，我们证明 $\mathbb{P}^{1|2}$ 是自镜像的，而 $\mathbb{WP} ^{1|1}_{(2)}$ 具有零维镜像。此外，$\mathbb{P}^{1|2}$ 的镜像映射自然赋予其 $N=2$ 超黎曼曲面的结构。