通过圆锥过渡构造新的 Calabi-Yau 3-流形及其镜像

我们构造了一大类具有小 Picard 数的新 Calabi-Yau 3-流形$X$，并提出利用具有圆锥奇点的环面超曲面的平滑化来构造其镜像$X^*$。这些新示例通过圆锥过渡与先前已知的示例相关联。我们的结果推广了通过环面退化构造 Grassmannian 和旗流形中 Calabi-Yau 完全交集的镜像构造。恰好存在 198849 个反射 4-多胞形，其 2-面仅为最小体积的三角形或平行四边形。每个这样的多胞形都产生一族至多具有圆锥奇点的 Calabi-Yau 超曲面。利用 Namikawa 的判据，我们发现了 30241 个反射 4-多胞形，使得相应的 Calabi-Yau 超曲面可通过平坦形变进行平滑化。特别地，我们发现了 210 个反射 4-多胞形，定义了 68 个拓扑不同的$h_{11}=1$的 Calabi-Yau 3-流形。我们解释了镜像构造，并计算了相应单参数镜像 Calabi-Yau 3-流形族的几个新 Picard-Fuchs 算子。