Ray 积分算子在二维对称张量场的 Sobolev 空间中的范围特征

Ray 积分 $I_m$ 对 $\mathbb{R}^n$ 上的对称 $m$ 阶张量场 $f$ 在直线上进行积分。在 $n\ge3$ 的情况下, 对算子 $I_m$ 在加权 Sobolev 空间 $H^{s}_t({{\mathbb R}}^n;S^m{{\mathbb R}}^n)$ 上的范围特征化在 [V. Krishnan 和 V. Sharafutdinov. Range characterization of ray transform on Sobolev spaces of symmetric tensor fields. Inverse Problems and Imaging, 18(6), 1272--1293, 2024] 中得到了。本文在二维维度上得到更高阶加权 Sobolev 空间中的范围特征化结果。在 $n=2$ 的情况下, 范围特征化与 $n\ge3$ 的情况截然不同, 这使我们能够在更高阶加权 Sobolev 空间 $H^{r,s}_t(\mathbb{R}^2)$ 中取得此类结果,其中 $r$ 可以为任意实数。尽管如此, 我们主要工具仍是 Reshetnyak 公式, 它指出对于旋度张量场 $f$, 有 $\lVert I_mf\rVert_{H^{(r,s+1/2)}_{t+1/2}(T{{\mathbb S}}^{n-1})}=\lVert f\rVert_{H^{(r,s)}_t({{\mathbb R}}^n;S^m{{\mathbb R}}^n)}$。