马克肯-瓦斯维尔 SDE 的随机吸引子

本文主要关注马克肯-瓦斯维尔随机微分方程在可分 Hilbert 空间 $H$ 上的随机吸引子的存在性。一个显著性挑战来自系数的分布依赖性，从而导致在 $H$ 上缺乏随机流动性。为解决此问题，我们首先将原方程转化为 $H \times \mathcal{P}(H)$ 上的系统，并在该空间上考虑随机吸引子的存在性。我们随后分析两个参数动力系统相关的 cocycle。在此框架下，我们定义相应的 pullback 随机吸引子，并为此类 cocycle 的随机吸引子存在性开发一般理论。最后，我们将我们的理论结果应用于马克肯-瓦斯维尔随机常微分方程、马克肯-瓦斯维尔随机反应扩散方程和马克肯-瓦斯维尔随机二维Navier-Stokes 方程。在吸引子简化为单元素集 $\mathcal{A}(\omega):=(\xi(\omega),\mu_\infty)$ 的情况下，我们证明 $\xi$ 对应于解耦 SPDE 的平稳解，满足 $\mathbb{P}\circ[\xi]^{-1}=\mu_\infty$。