Darboux III 量子非线性振子器的 Rényi 与 Tsallis 信息熵

Darboux III 振子是一个在非常数负曲率的 radially 对称空间上定义的恰好可求解的 N 维非线性振子。其一维版本可视为质量随位置变化的系统，其质量函数 $\mu = (1 + \lambda x^2)$ 取决于非线性参数 $\lambda$，当 $\lambda \to 0$ 时恢复谐振子。本文详细研究了一维 Darboux III 振子量子版本的熵矩及 Rényi 与 Tsallis 信息熵。特别是获得了这些量在位置空间中的解析表达式。由于 Darboux III 波函数的傅里叶变换不具备闭式表达式，本文进行了数值分析。全文分析了熵参数 $\alpha$ 与非线性参数 $\lambda$ 之间的相互作用，并在 $\alpha \to 1$ 和 $\lambda \to 0$ 的极限下分别恢复了 Darboux III 和谐振子的 Shannon 熵、Rényi 和 Tsallis 熵的已知结果。最后，针对当 $\lambda$ 值较大或考虑高度激发态时出现的强非线性效应，提出了一种在此类情形下有效的概率密度函数近似方法。由此可获得概率密度在动量空间的解析近似，解释了 $\alpha$ 与 $\lambda$ 之间相互作用所观察到的若干效应。