不变控制系统的商

在之前的工作中，已证明如果控制系统 $\mathcal{V}\subset TM$ 存在于流形 $M$ 上且具有控制对称群 $G$，则其经常具有组商（或对称性简化） $\mathcal{V}/G$，这些商是静态反馈线性化（SFL）。这反过来可以用于系统构造 $\mathcal{V}$ 的动态反馈线性化；或在不存在动态反馈线性化时构造部分反馈线性化。由于这些及相关应用，本文对控制系统的对称性简化进行了详细研究。我们证明，控制系统对称性简化的一个关键属性是 Lie 群作用的�截性。我们对此概念进行一般化，提供了关于不变分布，特别是控制系统，在对称性简化后的几何如何被改变的分析。这提供了关于 SFL 商异常频繁发生的重要信息。具体而言，我们详细说明了商对象的各个规范子束的可积性属性和秩与给定分布之间的差异。因此我们能够基于 $\mathcal{V}$ 的几何性质和作用 $G$ 对 $G$ 不变控制系统 $\mathcal{V}$ 的 SFL 商进行分类。此外，我们证明静态反馈线性化在对称性简化下得以保持，且著名的 Sluis-Gardner-Shadwick (S-G-S) 用于控制系统静态反馈线性化测试被扩展到 Goursat 束上。也给出一个基于 $G$ 的 Lie 代数的通用 S-G-S 测试，用于识别 $\mathcal{V}/G$ 是否为 Goursat 束。最后，我们将所有结果应用于著名的 PVTOL 控制系统，展示其可被视为某个 9 维 Lie 群上的不变控制系统。