李群上力学系统的控制与理想流体动力学

与将李群上左不变或右不变度规的测地流通过 Euler-Poincaré 约化到相应的李代数（或其对偶）不同，可以考虑将测地流约化到群本身。约化后的向量场具有显著的水动力学解释：它是理想流体定常流动的速度场。约化场的右不变或左不变对称场定义了此类流动的涡流流形。现考虑一个构型空间为李群、且其拉格朗日量在该群左平移下不变的力学系统，并假设该系统的质量几何可在内部控制力作用下发生变化。此类系统亦可约化到李群。在无控制情形下，该力学系统描述了由拉格朗日量给出的左不变度规的测地流，因此其约化流是李群上的定常理想流体流动。此类系统的标准控制问题是寻找条件，使得系统能够通过改变其质量几何从构型空间中的任意初始位置到达另一指定位置。我们证明，在这些条件下，通过改变质量几何，还可以将一个涡流流形带到任意其他指定的涡流流形。