倒立与谐振子奇异扰动下的量子与经典保真度

考虑形如 \beq \label{0.1} H_{g}^{\epsilon} := \frac{P^2}{2}+ \epsilon \frac{Q^2}{2}+ \frac{g^2}{Q^2} \edq 的哈密顿量的量子对经典动力学，其中 $\epsilon = \pm 1$，$g$ 为实常数。我们将特别研究 $H_{g}^{\epsilon}$ 与 $H_{0}^{\epsilon}$ 之间的量子保真度，定义为 \beq \label{0.2} F_{Q}^{\epsilon}(t,g):= < \exp(-it H_{0}^{\epsilon})\psi, \exp(-itH_{g}^ {\epsilon})\psi > \edq 其中 $\psi$ 为相关算子定义域中的某参考态。我们亦提出经典保真度的定义（文献中已有，见\cite{becave1}、\cite{becave2}、\cite{ec}、\cite{prozni}、\cite{vepro}），并将其与量子保真度随时间演化及耦合常数 $g$ 变化时的行为进行比较。