美式期权平值状态下的量化利率

本文扩展了Samuelson[3]和Shepp[2,5,6]关于股票优化的思想，采用Bachelier模型[4]作为美式看涨和看跌期权[1]在平值状态（股票价格X=执行价格K）下的股票价格模型。在美式期权的平值状态（X=K）下，看涨和看跌期权的期望收益均为零。Shepp利用鞅和停时理论研究了若干随机优化问题[2,5,6]。他研究的问题之一是如何使用Black-Scholes（乘法）模型和Bachelier（加法）模型[7,6]来优化美式期权在高于执行价格K（行权价）直至停时点的股票价格。为了探究非相对论量子效应对平值状态下看涨和看跌期权期望收益的影响，我们假设股票价格服从由Bachelier（加法）模型[4]控制的随机过程。进一步，利用伊藤积分和鞅理论，我们得到了以delta和gamma表示的看涨和看跌期权期望收益的微分方程。我们还得到了非相对论薛定谔方程的解作为看涨和看跌期权的期望收益。然后，我们将平值状态下看涨和看跌期权的期望收益这一随机过程用薛定谔方程的解表示。我们得出结论：平值状态下两种期权的期望收益所对应的随机过程是一个具有量化利率的振荡函数。